10 月 7 日早上，我看到这张 X 截图时，先被 @mgostIH 的语气逗笑了：整数乘法已经低于 n log n，怎么连 FFT 也来了？截图里，他引用了 OpenAI 发布数学研究成果的帖子，又接连贴出两项论文摘要。页面显示的发帖时间是 10 月 7 日 6:51。
我顺着截图查了 OpenAI 的发布说明和论文仓库。两项结果确实列在目录里，但“低于 n log n”不能直接翻译成“你的电脑马上算得更快”。有趣的地方，恰恰在它们各自突破了什么、又没有突破什么。
整数乘法：小到荒诞的指数，也是严格大于零的指数
OpenAI 的整数乘法论文声称：在一台固定、有限字母表、有限条一维磁带的图灵机上，两个 n 位整数可以在确定性的最坏情况时间 O(n(log n)^(1−κ)) 内精确相乘，其中 κ = 2^−182。按论文的表述，这否定了 Schönhage–Strassen 在普通多磁带位模型中关于 n log n 最优性的猜想。
2^−182 小得像个玩笑。对现实中能造出的输入规模，它不会成为你升级计算库的理由。但在渐近复杂度里，“再小也是正数”很要紧：它说的不是把常数调低一点，而是把对数的指数从 1 压到了 1 以下。我觉得这才是截图值得停下来看的地方——一种看似稳固的边界，被论文提出了严格越过它的路径。
FFT：同样写着“低于”，却不是同一本账
另一篇离散傅里叶变换论文提出，在每个长度 n 上，用 O(n(log n)^(1−δ)) 次运算完成变换，δ = 10^−13。这里的运算模型允许精确复数、无限制系数和给定的单位根，并按规定方式计入标量准备与索引成本。论文自己把这与整数乘法的位复杂度模型分开；它没有给出日常浮点 FFT 的数值稳定性或有限精度提速结论。
所以，把这两篇放在一张截图里很有冲击力，却不能把它们当成同一种硬件性能承诺。一个针对精确整数乘法的位模型，另一个针对精确复数运算的算术模型。标题可以一起惊叹，评估却必须分开。
我最想看到的是“审得动”的数学
OpenAI 这次公开的仓库列出 372 组结果、722 份手稿，并明确说它们处在不同的验证阶段，并非每篇都有 Lean 形式化。整数乘法这一项在目录中没有附上 Lean 链接。FFT 相关条目虽然有 Lean 说明，但说明写得很清楚：形式化覆盖的是某些趋于无穷的长度序列上的电路节省，不是“每个长度”版本的完整验证。这不是抹掉论文，而是把证据放回它实际覆盖的位置。
我的判断是：如果这些论证经得起独立复核，这是一场关于计算边界的漂亮进展；如果其中有问题，公开手稿、修订记录和可检查的部分证明，也让错误更容易被具体指出。与其急着说“AI 已经让乘法和 FFT 变快”，我更愿意说：AI 正在把数学界带到一个新局面——提出结果的速度变快了，解释、核验和纠错的能力也得跟上。
资料：OpenAI 发布说明 · 论文仓库说明 · 整数乘法论文 · FFT 论文 · Lean 覆盖范围。